我们在这里讨论的是一个图像域上的一个1X1临域的灰度变换:,其中r为原图像灰度变量(),s为变换后图像灰度。这是一个最简单的灰度——灰度变换,一般被用于解决简单的图像增强(Enhance)问题。

我们知道所谓“直方图”反应了一幅图像中灰度的分布,严格的来说是图像中灰度概率密度的图像。在一般的图像中,直方图越平缓,则图像层次越丰富,对比越强烈;而直方图的峰聚集在横轴近端或远端,则图像偏灰或偏亮,等等。

这就提供了一个纯粹应用直方图而忽略图像本身的变换思路:即试图将图像的直方图拉平,以期达到Enhance的目的。具体的说,我们希望找到一个变换函数,使得任意的r的概率密度函数(PDF)在变换下满足。并且基本地,这个变换应当满足两点性质: 1.单调递增,使得变换下图像不会出现灰度层次的变化 2.值域在

由概率的知识,很容易导出:

我们考察含参变量积分形式的变换函数:

由于概率密度函数是非负的,上式单调递增且落在之间,符合要求。下面我们考察其变换后的灰度分布:

代入最上面的结果有

这是一个均匀密度函数。

因此我们从以上生成的步骤得知,我们可以得到均匀的,它与无关(生成的过程与相关)。

当然,平直的直方图曲线并不一定是最优的。有时候我们希望变换下的图像得到特定的直方图,意即,给定概率分布函数,我们要求得,使得。这被称作直方图匹配

我们注意到对于,同样有:

对其取反函数,有

这就给出了直方图匹配的一般思路:先求出原图像r的直方图均衡变换,再将其与待求图像r的均匀变换的逆变换合成。

在实际操作中,寻找的表达式是比较困难的。幸而在图像存储的离散条件下,我们的操作可以大大简化。